O presente trabalho pretende discutir as idéias de completude dos números reais abordadas nos livros didáticos de Matemática do ensino médio e em livros de Análise Real usados nos cursos de licenciaruta, buscando encontrar uma relação entre essas duas abordagens. O alvo do nosso trabalho é o professor. Usando uma versão do Teorema dos Intervalos Encaixantes(TIE), propomos uma definição de completude dos números reais bem mais inteligível e que não usa nenhum conceito desconhecido do Ensino Médio, que o conjunto dos números reais é completo por nele valer o TIE. Usando o TIE, fica também mais “palpável’ admitir que todo ponto da reta está associado a um número real e também justifica-se certas passagens de livros do Ensino Médio. Outro motivo é que dessa forma, a disciplina Análise Real pode se tornar uma aliada do professor e não seu algoz. Um fato a ser levado em consideração é que alguns tópicos da disciplina de Análise Real, como por exemplo, o conjunto dos números reais, não podem ser ensinados para licenciandos desvinculada da maneira como esses assuntos são tratados por livros didáticos do Ensino Médio, pois para entender esses assuntos com profundidade é necessário os conceitos de Análise e é isto que tentamos exemplificar neste trabalho. Entre outros fatores, o que pode faltar é justamente uma apresentação que ligue conceitos da Análise Real a assuntos abordados no Ensino Médio.